# Curso de topología general by Francisco J. Díaz, José M. García Calcines

By Francisco J. Díaz, José M. García Calcines

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Example text

2 Un punto de X − Y se dir´a exterior de Y cuando sea un punto interior de X − Y . El conjunto de puntos exteriores de Y se denotar´a Ext(Y ). En nues¯ ¯ 0), 1) ∪ B((2, 0), 12 ) ∪ {(x, 0) / x ∈ tro ejemplo Ext(Y0 ) = R2 − (B((0, [3, 4] ∪ {5} ∪ {5 + n1 / n ∈ N}}). 3 Un punto de X se dir´a frontera de Y cuando todos sus entornos tengan intersecci´on no vac´ıa con Y y con X − Y . El conjunto de los puntos frontera de Y se denotar´a por F r(Y ) o tambi´en δ(Y ). En el ejemplo, F r(Y0 ) = S01 ∪ S11 ∪ {(x, 0) / x ∈ [3, 4] ∪ {5} ∪ {5 + n1 / n ∈ N}}, donde Si1 representa la circunferencia centrada 1 , para i ∈ {0, 1}.

Teniendo en cuenta que la imagen de cualquier subconjunto de X tiene que ser, a la fuerza, un subconjunto ﬁnito de Y , es claro que ninguna aplicaci´ on / Tcof ). Sin emf : (X, T ) → (Y, Tcof ) va a ser abierta (pues f (X) ∈ bargo cualquier aplicaci´ on entre estos espacios s´ı va a ser cerrada. 2. 2 La aplicaci´on f : (R, Tu ) → (R, Tu ) deﬁnida por f (x) = ex es abierta, porque f ((a, b)) = (ea , eb ). Sin embargo no es cerrada, como se demuestra observando que f (R) = (0, ∞). Como ocurr´ıa con la continuidad, podemos enunciar un resultado que nos provea de multitud de ejemplos de aplicaciones abiertas y cerradas.

Si C ∈ CX entonces f −1 (C) = f1−1 (C) ∪ f2−1 (C). 2, como continuas, f1−1 (C) ∈ CF1 y f2−1 (C) ∈ CF2 . Por la Proposici´ −1 −1 F1 , F2 ∈ CX , se tiene que f1 (C) y f2 (C) son tambi´en cerrados en X, y como la uni´on ﬁnita de cerrados es cerrado se concluye que f −1 (C) ∈ CX . 6 Se consideran (X, T ) y (X , T ) espacios topol´ogicos, donde X = {a, b, c, d}, X = {a, b, c}, T = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}} y T = {∅, X , {a, b}}. Tomamos f1 : A = {a, b, d} → X y f2 : B = {a, c} → X deﬁnidas por f1 (a) = f2 (a) = a, f1 (b) = b, f1 (d) = c y f2 (c) = b.